הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) (actuator) מפעיל בקר. plant הבאות:

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) (actuator) מפעיל בקר. plant הבאות:"

Ῥαάβ Μαρής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 הרצאות בבקרה לא-לינארית (696) מאת פרופ' נחום שימקין טכניון הפקולטה להנדסת חשמל חורף תשס"ה ניתוח מערכות משוב חלק בב': כזכור, המשוב מהווה מרכיב חשוב במערכות טבעיות והנדסיות רבות, וכלי בסיסי בתכן מערכות הבקרה. מערכת משוב בסיסית מוראית בציור הבא: מפעיל בקר (actuator) plant מדיד כל אחד ממרכיבי המערכת עשוי להיות מקור לחוסר לינאריות: ה- :plant עקב חוקים פיסיקליים לא-לינאריים. המפעיל: קטגוריה זו כוללת רכיבים המתרגצים אות פקודה מהבקר לגודל פיסיקלי, כגון מנועים, מגברי הספק, שרירי הגוף, וכו'. תופעות לא לינאריות טיפוסיות כוללות רוויה, "אזור מת", ואופין לא-לינארי. החיישן: עשוי להיות בעל אופין לא-לינארי. הבקר: בקרה יעילה של מערכת לא-לינארית מצריכ לעיתים קרובות בקר שהוא עצמו לא לינארי. בחלק זה של הקורס נתמקד בניתוח תכונות של מערכת משוב נתונה. נתמקד בתכונות הבאות:. תנודות מערכות משוב: ניתוח יציבות בשיטת הפונקציה המתארת.. יציבות מערכות משוב: משפט ההגבר הקטן, יציבות מוחלטת.

2 פרק 5. שיטת הפונקציה המתארת שיטת הפונקציה המתארת nalysis) (Describing Function הינה שיטה מקורבת, המסתמכת על ניתוח מקורב בתחום בתדר. כזכור, תגובת התדר היא כלי מרכזי לניתוח מערכות לינאריות. אולם כלי זה אינו ישים באופן ישיר למערכות לא-לינאריות (מדוע?). שיטת הפונקציה המתארת שימושית במיוחד לצורך: חישוב מקורב של תגובת מערכת משוב לכניסה מחזורית. () חיזוי או שלילת תנודות (מחזורי גבול) במערכת משוב. () המערכת הבסיסית שבה נתעניין היא מהצורה: r + x (t) w (t) y(t) ϕ ( ) G(s) (s )G הינו המרכיב הלינארי של המערכת, ואילו ϕ הינו המרכיב הלא לינארי. לדוגמא: ( t) =ϕ( x( t) ) x( t) 3. W = 3,ϕ( x ) = x כלומר בשלב זה נניח כי המרכיב הלא לינארי הינו עצמיות נניח כי. r( t) = סטטי השיטה שנציג ישימה גם למערכות מורכבות יותר כגון: (חסר זכרון). לצורך ניתוח תנודות r + x w u y G ( s) ϕ ( ) G p (s) G ( s) plant בקר מבנה זה טיפוסי למערכת משוב לינארית בעיקרה, כאשר טפילי, רוויה, כגון: חיכוך, "אזור מת", וכו'. ()ϕ מציין אלמנט לא לינארי אי לינאריות זו נובעת לעיתים קרובות מה"מניע" של המערכת (actuator) מנוע, מגבר הספק, תמסורת, וכו'. 5 -

3 5.. הגדרת הפונקציה המתארת נניח כי בכניסת הרכיב הלא-לינארי מצוי אות סינוסי: x ( t) = sin ( ωt) w ( t) = φ( x( t) היציאה ) תהיה באופן כללי אות מחזורי בתדר זהה, וזמן מחזור w(t) :T π = ω x( t) = sin( ωt) ϕ t עקב מחזוריותו ניתן לבטא את האות (t )w כטור פוריה: () = + [ ak cos( kωt) + bk sin ( kωt) ] w t a b k k a = T = T k = T T () cos ( kωt) w t () sin ( kωt) w t dt dt, k w() t x( t) הנחת ממוצע אפס: נניח מעתה כי עבור (מחזורי) בעל ממוצע אפס, כלומר בפרוק פוריה. מחזורי בעל ממוצע אפס, נקבל.ϕ ( x) = ϕ ( x) a = תכונה זו תתקיים בפרט כאשר ϕ פונקציה אי-זוגית, כלומר קרוב ההרמוניה הבסיסית: להתמקד על ההרמוניה הראשונה הקרוב הבסיסי שנבצע בשיטת הפונקציה המתארת הוא,( k =) הגבוהות יותר. בלבד תוך התעלמות מכל ההרמוניות 5-3

4 בהתאם להנחות אלה: w () t ~ a cos( ωt) b sin ( ωt) w + ( t) = M sin ( ω t +φ ) ניתן כמובן לרשום זאת גם כך: φ כאשר Me j = b + ja N(,ω ) הגדרת הפונקציה המתארת: להרמוניה הראשונה בלבד: הפונקציה המתארת היא "תגובת התדר" ביחס - כפי N Me jφ (, ω ) = = ( b + ja ) חשוב להדגיש כי הפונקציה המתארת היא גם פונקציה של משרעת הכניסה שמתחייב מאי-הלינאריות של ϕ. Re Im מקרים פרטיים כאשר (x )ϕ פונקציה סטטית (חסרת זכרון) נקבל w ( t) =ϕ ( sin ( ωt) ) b { N(, ω )} = = ϕ( sinωt) sin ( ωt) a T T T T { N(, ω )} = = ϕ( sinωt) cos( ωt)dt dt. ולכן ( ω ) במקרה זה מתקבל כי, N אינו תלוי בתדר: ( ω, ) N( ). N = ניתן להראות זאת על ידי החלפת משתנים. על ידי הגדרת τ = ωt נקבל: 5 -

5 N π ( ) = ϕ( sinτ ) sin ( τ ) + j π π π ϕ dτ ( sin τ ) cos ( τ ) dτ w() t.ϕ ( x) = ϕ נניח, בנוסף, כי (x )ϕ פונקציה אי-זוגית: (x ( פונקציה אי זוגית של הזמן, ומתקבל אזי הינה =. a לפיכך ) N( פונקציה ממשית:. N b T T ( ) = = ϕ( sinωt) sin ( ωt)dt מקרה () הוא המקרה הנפוץ ביותר. 5-5

6 5.. חישוב הפונקציה המתארת נדגים את חישוב הפונקציה המתארת עבור אלמנט רוויה אידיאלי: M = kα w = ϕ(x) α α x הפונקציה ϕ לינארית בשיפוע k עבור, x α וקבועה עבור. x >α. w () t = k sin() t. x () t = sin נניח () t עבור : α היציאה לא תגיע לתחום הרוויה, ולכן נקבל ( ) = k, < α N לפיכך: () () עבור : > α k sin w() t = kα ( t) : : t γ γ t π / w(t) kα γ π π π t ( ) כאשר / α. γ = sin משיקולי סימטריה נקבל: 5-6

7 b π / γ π / = w t π π γ k α = γ + π b N( ) = () sin ( t) dt = [ k sin () t dt + kα sin () t α N( ) dt] האיור הבא מראה את (ביחידות מנורמלות). (Slotine & Li) הפונקציה המתארת עבור מספר אלמנטים לא-לינאריים נוספים מצוינת בטבלה המצורפת. נתעכב בקצרה על התופעות הלא-לינאריות הבאות: א. רווית :ON-OFF אופין זה מצוי, למשל, בממסר חשמלי, מעגל מיתוג, וכד'. ϕ(x) M x M. N ( ) = M π מכיוון שהיציאה היא גל ריבועי, קל לקבל כי 5-7

8 ב. "אזור מת" Zone) :(Dead כדי לקבל תגובה כלשהי של היציאה. בהתקנים מסוימים נדרשת כניסה בעלת גודל מינימלי (i) ϕ(x) (ii) ϕ(x) δ k x δ k x אופיין (ii) מתאר למשל אופיין מהירות מתח של מנוע חשמלי, עם חכוך "יבש" בעומס. ההשפעה על מערכת בקרה הינה: הקטנה הדיוק. אפשרות לנדנודים סביב נקודת האפס. () () ג. :Backlash תופעה זו אופיינית לתמסורות מכניות (למשל גלגלי שיניים) עקב מרווחים וחופש בתשלובת. תרשים כניסה יציאה (עבור כניסה סינוסית במשרעת ( הינו: ונגרמת w(t) זווית יציאה b x(t) b זווית כניסה נציין כי אלמנט זה איננו לגמרי "סטטי" ואף לא "אי-זוגי". למרות זאת תלוי בתדר, אך הוא יהיה מרוכב (ניתן לראות כי היציאה "מפגרת" אחר הכניסה). ) N( איננו 5-8

9 5.3. שימוש לניתוח תנודות r( t) = + נתבונן במערכת הבסיסית בחוג סגור: N() x (t) w (t) y(t) ϕ ( ) G( jω) (ω.t π = ω נניח כי קיימת תנודה בעלת זמן מחזור נבצע ניתוח מקורב בתחום התדר עם ההרמוניה הראשונה יהיו Y הפאזורים המתאימים לאותות (בתדר בלבד. X = Y W = N( ) X Y = G( jω )W Y = G ( jω ) N( )Y () t, w() t x( t). y, ( jω ) N ( ) + G =,W, X אזי: ולפיכך: כלומר : זוהי "המשוואה האופיינית" של המערכת! ניתן לראות באיבר ) ( j ) N ( G ω "הגבר חוג" מקורב. מכיוון שמדובר בגדלים מרוכבים, במשוואה האופיינית כוללת למעשה שתי משוואות ממשיות, אשר מאפשרות לחשב את ו- ω (משרעת ותדר התנודה החזויה). 5-9

10 : < ω < פתרון המשוואה האופיינית באמצעות תרשים נייקויסט: נניח ראשית כי הפונקציה המתארת ( )N נרשום את המשוואה האופיינית כך: הינה ממשית. ( ) G( jω ) ) jω,g( עבור = N( ) נשרטט עתה עקום נייקויסט של פונקצית התמסורת Im{ G( jω)} N ( ) תחום השינוי של כאשר < < [ ] ω Re{ G( jω)} ω, ) ( N( ). < < N( ) נשרטט כמו כן את תחום השינוי של המשוואה האופיינית (**) תתקיים כאשר כאשר נפגשים. כאשר. + = ω ) jω G( ו- N( ) ממשי, פגישה זו אפשרית רק על הציר הממשי ( = ) jω ( Im )G jω) )G עם הציר הממשי. jω) )G המתאים לנקודת החיתוך. לפיכך: נקודות חיתוך אפשריות הן נקודות החיתוך של N( ) תדר התנודה ) ( ω משרעת התנודה ייקבע לפי התדר של תקבע לפי הערך של המתאים לנקודת החיתוך. ( ) () () (3) 5 -

11 כאשר ) N( אינו ממשי נקבל את התמונה הבאה: Im{ G( jω)} N ( ) Re{ G( jω)} ω, ) ( פה יידרש בדרך כלל פתרון נומרי. 5 -

12 r(t) + הקשר לקריטריון נייקויסט: נזכור כי עבור מערכת משוב לינארית: y(t) k G( jω) ω k. k Im{ G( jω)} יציבות המערכת נקבעת לפי מספר ההקפות של הנקודה Re{ G( jω)} מקרה טיפוסי, המוראה בציור, הינו: ( jω ) : מערכת יציבה k <G : ( jω ) k > G מערכת לא יציבה ) jω ( : סף יציבות. k =G N( ) מצב סף היציבות הוא זה שבו תתכן תנודה. במקרה הלא לינארי, ניתן לראות בפונקציה המתארת במשרעת "הגבר משתנה" התלוי התנאי לתנודות, כפי שמתבטא במשוואה האופיינת (**), דומה לתנאי סף היציבות הנ"ל.. 5 -

13 יציבות התנודה: התנודה תהיה "יציבה" אם, עבור סטיות קטנות במשרעת, נחזור למשרעת הנומינלית. ניתן לחזות יציבות התנודה מתוך קריטריון הנייקויסט. Im{ G( jω)} מצב אופייני של תנודה יציבה: N ( ) [ ] Re{ G( jω)} = כאשר = גדל מעט, N( ) נע שמאלה, המערכת הופכת ליציבה, ו- קטן בחזרה לכיוון כאשר. = קטן מעט, N( ) להיות לא יציבה, ולכן יגדל, לכיוון. לפיכך מספר ההקפות קטן, נע ימינה, ונוספת הקפה. המערכת הופכת () () :( () התנאי ליציבות התנודה ביחס לשינויים במשרעת הוא, אם כן: קט ן (ביחס ל- המערכת עם הגבר K = N( ) () גדל (ביחס ל- ): המערכת עם הגבר K = N( ) הופכת להיות לא יציבה. הופכת להיות יציבה. 5-3

14 הערות לגבי תקפות הניתוח באמצעות פונקציה מתארת: הניתוח שהצגנו לעיל הוא ניתוח מקורב הוא שימושי במקרים רבים, אולם יש לזכור את הנקודות הבאות: () הערכים החזויים ו- ω עבור התנודה אינם מדויקים. ייתכן שהתנודה החזויה אינה קיימת כלל בפועל. ייתכן שקיימת תנודה למרות שלא נחזתה בשיטה זו. () (3) נציין כי קיימים חסמים תיאורטיים שונים לגבי גודל ואפשרות הטעות מצויים בספרי הלימוד). (פרוט והפניות 5 -

15 .5. דוגמא: מתנד.([Slotine]) Van der Pol ( x ) x + x = ( > ) x + α α נתבונן במשוואת המתנד: נבדוק קיום מחזור גבול באמצעות שיטת הפונקציה המתארת. לשם כך, נייצג את משוואת המערכת בצורת משוב, כמוראה בציור: + רכיב לינארי רכיב לא לינארי x (t) w (t) α y(t) w = x x s α s + w האלמנט הלא לינארי איננו סטטי במקרה זה: ( t) = x ( t) x( t) x עבור ωt) ( t) = sin ( נקבל: () = x () t x () t = sin ( ωt) ω cos( ωt) w t 3 ω = ω ( cos( ωt )) cos ( ωt) = ( cosωt cos3ωt ) a N 3 w ω =, () t ωt ~ 3 3 בהזנחת ההרמוניה השלישית, נקבל: ω cos ולפיכך: b = (, ω ) = ( b + ja ) = ( jω ) נציין כי את a ו- b אפשר לקבל כמובן גם באמצעות הנוסחאות האינטגרליות (בדוק!). המשוואה האופיינית: 5-5

16 + + N( ω, ) G( jω ) = ( jω ) α ( jω ) α ( jω ) = + ω + = α ω j( αω + ) = שתי המשוואות המתקבלות: ω = = מעניין לציין כי פרמטרים אלה אינם תלויים ב- α. התנודה המתקבלת עבור ערכים שונים של α מוראית בציור. ככל ש- α גדל, אי- הלינאריות יותר מודגשת והדיוק קט ן. (Slotine & Li) יציבות התנודה: נתבונן במשוואה האופיינית, הפעם במישור s (לפלס): s s + s + α( α = αs + ) s + = עבור = המערכת על סף יציבות. עבור < המערכת בלתי יציבה גדל. עבור > המערכת יציבה קטן. מכאן נצפה כי התנודה תהיה יציבה (לגבי שינויים במשרעת). 5-6

Σχετικά έγγραφα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si